【解】所求直线与两已知平面平行，即其方向向量 $\vec{s}$ 同时垂直于两平面的法向量。两平面法向量分别为 $\vec{n}_1=(2,3,-7)$，$\vec{n}_2=(1,2,-3)$。取方向向量为叉积：
$$
\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 3 & -7 \\
1 & 2 & -3
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(3\cdot(-3)-(-7)\cdot2) - \mathbf{j}(2\cdot(-3)-(-7)\cdot1) + \mathbf{k}(2\cdot2-3\cdot1)
$$
$$
= \mathbf{i}(-9+14) - \mathbf{j}(-6+7) + \mathbf{k}(4-3) = (5,-1,1).
$$

又直线过点 $(5,-1,2)$，故对称式方程为
$$
\frac{x-5}{5}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}.
$$
答案为 $\dfrac{x-5}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-2}{1}$。