【答案】$\dfrac{1}{5}\arctan\dfrac{x-1}{2}$。【解析】设 $y=f(x)=1+2\tan5x$，解出 $x$：由 $y=1+2\tan5x$ 得 $\tan5x=\dfrac{y-1}{2}$，故 $5x=\arctan\dfrac{y-1}{2}$，即 $x=\dfrac{1}{5}\arctan\dfrac{y-1}{2}$。将 $x,y$ 互换得反函数：$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{5}\arctan\dfrac{x-1}{2}$。