函数 $y=\dfrac{e^x}{1+x}+3x-5$，定义域为 $x\ne-1$。先求一阶导数：
$$
y'=\dfrac{e^x(1+x)-e^x}{(1+x)^2}+3=\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}+3.
$$
再求二阶导数：
$$
y''=\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}\right]
=\dfrac{(e^x+xe^x)(1+x)^2-xe^x\cdot2(1+x)}{(1+x)^4}
=\dfrac{e^x(1+x)[(1+x)+x]-2xe^x(1+x)}{(1+x)^4}
=\dfrac{e^x(1+x)(1+2x)-2xe^x(1+x)}{(1+x)^4}
=\dfrac{e^x(1+x)(1+2x-2x)}{(1+x)^4}
=\dfrac{e^x(1+x)}{(1+x)^4}
=\dfrac{e^x}{(1+x)^3}.
$$
由于 $e^x>0$ 恒成立，故 $y''$ 的符号由分母 $(1+x)^3$ 决定：当 $x<-1$ 时，$(1+x)^3<0$，故 $y''<0$，曲线凸；当 $x>-1$ 时，$(1+x)^3>0$，故 $y''>0$，曲线凹。因此凸区间为 $(-\infty,-1)$，凹区间为 $(-1,+\infty)$。