一元函数积分学 / 面积与旋转体体积 / 常规计算与结论整理
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=k$ 及 $x$ 轴围成，区域的面积为 $S$，该区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积为 $V$，求 $k$ 为何值时，$V=\dfrac32\pi S$ 成立.
正确答案
$k=4$
题目解析
【解】由 $y=\sqrt{x}$、$x=k$ 与 $x$ 轴围成区域可知 $k>0$。
区域面积为
$$S=\int_0^k\sqrt{x}\,dx=\frac23k^{3/2}.$$
该区域绕 $x$ 轴旋转一周，利用圆盘法得
$$V=\pi\int_0^k(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^kx\,dx=\frac\pi2k^2.$$
由题设 $V=\dfrac32\pi S$，得
$$\frac\pi2k^2=\frac32\pi\cdot\frac23k^{3/2}=\pi k^{3/2}.$$
由于 $k>0$，两边同除以 $\pi k^{3/2}$，得 $\dfrac12\sqrt{k}=1$，所以
$$k=4.$$
区域面积为
$$S=\int_0^k\sqrt{x}\,dx=\frac23k^{3/2}.$$
该区域绕 $x$ 轴旋转一周，利用圆盘法得
$$V=\pi\int_0^k(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^kx\,dx=\frac\pi2k^2.$$
由题设 $V=\dfrac32\pi S$，得
$$\frac\pi2k^2=\frac32\pi\cdot\frac23k^{3/2}=\pi k^{3/2}.$$
由于 $k>0$，两边同除以 $\pi k^{3/2}$，得 $\dfrac12\sqrt{k}=1$，所以
$$k=4.$$