【答案】C。【解析】区域 $D:x^2+y^2\le8$ 是以原点为圆心、半径为 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ 的闭圆域，宜用极坐标变换：令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $x^2+y^2=r^2$，$dxdy=rdrd\theta$，积分限为 $r\in[0,2\sqrt{2}]$，$\theta\in[0,2\pi]$。被积函数化为 $r^2+2r\cos\theta+3$。于是
$$
\iint_D(x^2+y^2+2x+3)dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\sqrt{2}}(r^2+2r\cos\theta+3)r\,drd\theta.
$$
先对 $r$ 积分：
$$
\int_0^{2\sqrt{2}}(r^3+2r^2\cos\theta+3r)dr=\left[\frac{r^4}{4}+\frac{2r^3}{3}\cos\theta+\frac{3r^2}{2}\right]_0^{2\sqrt{2}}.
$$
计算得：$r=2\sqrt{2}$ 时，$r^2=8$，$r^3=16\sqrt{2}$，$r^4=64$，代入得
$$
\frac{64}{4}+\frac{2\cdot16\sqrt{2}}{3}\cos\theta+\frac{3\cdot8}{2}=16+\frac{32\sqrt{2}}{3}\cos\theta+12=28+\frac{32\sqrt{2}}{3}\cos\theta.
$$
再对 $\theta$ 积分：
$$
\int_0^{2\pi}\left(28+\frac{32\sqrt{2}}{3}\cos\theta\right)d\theta=28\cdot2\pi+\frac{32\sqrt{2}}{3}\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=56\pi+0=56\pi.
$$
故选 C。