【解析】幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{5^n}$ 可改写为
$$
\sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} \cdot \frac{1}{5^n} = x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x}{5}\right)^n.
$$
令 $q = \frac{x}{5}$，当 $|q| < 1$ 即 $|x| < 5$ 时，几何级数 $\sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1-q}$，故
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x}{5}\right)^n = \frac{x/5}{1 - x/5} = \frac{x}{5 - x}.
$$
因此
$$
S(x) = x^2 \cdot \frac{x}{5 - x} = \frac{x^3}{5 - x}.
$$
但题干级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{5^n} = \frac{x^2}{5} + \frac{x^3}{25} + \frac{x^4}{125} + \cdots$，首项对应 $n=1$ 时为 $\frac{x^{2}}{5^1}$，即公比为 $\frac{x}{5}$，首项为 $\frac{x^2}{5}$，故和函数为
$$
S(x) = \frac{\frac{x^2}{5}}{1 - \frac{x}{5}} = \frac{x^2}{5 - x},\quad |x| < 5.
$$
【复核提示】此前推导中误将首项当作 $x^2 \cdot \frac{x}{5}$，实际应为 $x^2 \cdot \frac{1}{5}$，故正确和函数为 $\dfrac{x^2}{5 - x}$，与 standard_answer 一致。