【解】区域 $D$ 由 $x=\sqrt{2y}$（即 $y=\dfrac{x^2}{2}$），$x=0$，$y=2$ 围成。画图可知：$y$ 从 $0$ 到 $2$，对每个 $y$，$x$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2y}$；亦可改写为 $x$ 从 $0$ 到 $2$（因当 $y=2$ 时 $x=\sqrt{4}=2$），对每个 $x$，$y$ 从 $\dfrac{x^2}{2}$ 到 $2$。选用先 $x$ 后 $y$ 更简便。

故
$$
\iint_D \left(\frac{x^3}{y^2} + 2x\right) dx dy = \int_{y=0}^{2} \int_{x=0}^{\sqrt{2y}} \left(\frac{x^3}{y^2} + 2x\right) dx dy.
$$

先对 $x$ 积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{2y}} \frac{x^3}{y^2} dx = \frac{1}{y^2} \cdot \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2y}} = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{(2y)^2}{4} = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{4y^2}{4} = 1,
$$
$$
\int_{0}^{\sqrt{2y}} 2x\,dx = \left[x^2\right]_0^{\sqrt{2y}} = 2y.
$$

故内层积分为 $1 + 2y$，再对 $y$ 积分：
$$
\int_{0}^{2} (1 + 2y)\,dy = \left[y + y^2\right]_0^2 = (2 + 4) = 6.
$$
答案为 $6$。