常微分方程 / 微分方程通解 / 常规计算与结论整理
微分方程 $y^{\prime\prime}+5y^\prime-24y=0$ 的通解为____.
正确答案
$y=C_1e^{-8x}+C_2e^{3x}$
题目解析
【解析】微分方程 $y'' + 5y' - 24y = 0$ 为二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为
$$
r^2 + 5r - 24 = 0.
$$
解得
$$
r = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2},
$$
即 $r_1 = -8$, $r_2 = 3$。因特征根为两个不等实根，故通解为
$$
y = C_1 e^{-8x} + C_2 e^{3x}.
$$
$$
r^2 + 5r - 24 = 0.
$$
解得
$$
r = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2},
$$
即 $r_1 = -8$, $r_2 = 3$。因特征根为两个不等实根，故通解为
$$
y = C_1 e^{-8x} + C_2 e^{3x}.
$$