函数、极限与连续 / 分段函数连续与可导 / 分别计算左右极限、函数值与左右导数
已知函数 $f(x)=\begin{cases}3+e^{\frac{1}{x}},&x\ne0\\3,&x=0\end{cases}$，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）
正确答案
D
题目解析
【解析】分析函数 $f(x)=\begin{cases}3+e^{\frac{1}{x}},&x\ne0\\3,&x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。
计算左右极限：
当 $x\to0^+$，$\dfrac{1}{x}\to+\infty$，故 $e^{1/x}\to+\infty$，从而 $\lim_{x\to0^+}f(x)=3+\infty=+\infty$；
当 $x\to0^-$，$\dfrac{1}{x}\to-\infty$，故 $e^{1/x}\to0$，从而 $\lim_{x\to0^-}f(x)=3+0=3$。
又 $f(0)=3$，故左极限等于函数值，右极限为 $+\infty$，左右极限不相等，且至少一侧为无穷大，因此 $x=0$ 是无穷间断点，选 D。
计算左右极限：
当 $x\to0^+$，$\dfrac{1}{x}\to+\infty$，故 $e^{1/x}\to+\infty$，从而 $\lim_{x\to0^+}f(x)=3+\infty=+\infty$；
当 $x\to0^-$，$\dfrac{1}{x}\to-\infty$，故 $e^{1/x}\to0$，从而 $\lim_{x\to0^-}f(x)=3+0=3$。
又 $f(0)=3$，故左极限等于函数值，右极限为 $+\infty$，左右极限不相等，且至少一侧为无穷大，因此 $x=0$ 是无穷间断点，选 D。