【解析】逐项判断：A 中 $x$ 为奇函数，$\arctan x$ 为奇函数，和仍为奇函数，在对称区间 $[-1,1]$ 上积分为 0，正确；B 中 $x^2$ 为偶函数，$\sin x$ 为奇函数，乘积为奇函数，积分值为 0，正确；C 中 $\sqrt{1-x^2}$ 表示上半圆 $y=\sqrt{1-x^2}$，即单位圆上半部分，面积为 $\dfrac{\pi}{2}$，正确；D 中 $\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}$，表示以 $(1,0)$ 为圆心、半径为 1 的上半圆，定义域为 $[0,2]$，故 $\int_0^2\sqrt{2x-x^2}\,dx$ 为其面积 $\dfrac{\pi\cdot 1^2}{2}=\dfrac{\pi}{2}$，而非 $\pi$，故 D 错误。因此选 D。