一元函数微分学 / 凹凸性与拐点 / 概念辨析或快速代入排除
下列曲线中以$\left(0 , 0\right)$为拐点的是( )
正确答案
A
题目解析
【解】拐点需满足:函数在该点连续,二阶导数变号(或二阶导数存在且为零且左右异号)。逐项分析:
A. $y=x^5$,则 $y'=5x^4$,$y''=20x^3$,$y''=0$ 当且仅当 $x=0$;当 $x<0$ 时 $y''<0$,当 $x>0$ 时 $y''>0$,故 $x=0$ 是拐点。
B. $y=x^4$,$y''=12x^2\ge0$,恒非负,且在 $x=0$ 处不变号,不是拐点。
C. $y=x^{3/2}$ 定义域为 $[0,+\infty)$,在 $x=0$ 处不可导(右导数存在但左导数无定义),不满足拐点定义域要求。
D. $y=x^{2/3}$,$y'=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}$,$y''=-\dfrac{2}{9}x^{-4/3}$,在 $x=0$ 处无定义且 $y''$ 恒负($x\ne0$),无变号,不是拐点。
综上,仅 A 满足拐点定义,故选 A。
A. $y=x^5$,则 $y'=5x^4$,$y''=20x^3$,$y''=0$ 当且仅当 $x=0$;当 $x<0$ 时 $y''<0$,当 $x>0$ 时 $y''>0$,故 $x=0$ 是拐点。
B. $y=x^4$,$y''=12x^2\ge0$,恒非负,且在 $x=0$ 处不变号,不是拐点。
C. $y=x^{3/2}$ 定义域为 $[0,+\infty)$,在 $x=0$ 处不可导(右导数存在但左导数无定义),不满足拐点定义域要求。
D. $y=x^{2/3}$,$y'=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}$,$y''=-\dfrac{2}{9}x^{-4/3}$,在 $x=0$ 处无定义且 $y''$ 恒负($x\ne0$),无变号,不是拐点。
综上,仅 A 满足拐点定义,故选 A。