曲面 $z = 2x^2 + 3y^2$ 可写为 $F(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 - z = 0$。梯度向量 $\nabla F = (F_x, F_y, F_z) = (4x, 6y, -1)$，在点 $(1, 1, 5)$ 处为 $(4, 6, -1)$，即切平面法向量。故切平面方程为：$$4(x - 1) + 6(y - 1) - (z - 5) = 0,$$ 化简得：$$4x + 6y - z - 4 - 6 + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x + 6y - z - 5 = 0.$$ 故答案为 $4x + 6y - z - 5 = 0$。