一元函数积分学 / 面积与旋转体体积 / 常规计算与结论整理
已知 $D$ 是由曲线 $y=-x^2+2x$ 与直线 $y=x$ 围成的平面图形，
(1) 求平面图形的面积；
(2) 求平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.
(1) 求平面图形的面积；
(2) 求平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.
正确答案
(1) $\dfrac16$；(2) $\dfrac{\pi}{5}$
题目解析
【解】先求交点：解方程 $-x^2+2x=x$，即 $-x^2+x=0$，得 $x=0$ 或 $x=1$。在 $[0,1]$ 上，$y=-x^2+2x$ 在上，$y=x$ 在下。
（1）面积：$$S=\int_0^1[(-x^2+2x)-x]\,dx=\int_0^1(-x^2+x)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$$
（2）旋转体体积（圆盘法）：$$V=\pi\int_0^1[(-x^2+2x)^2-x^2]\,dx=\pi\int_0^1(x^4-4x^3+4x^2-x^2)\,dx=\pi\int_0^1(x^4-4x^3+3x^2)\,dx$$
$$=\pi\left[\frac{x^5}{5}-x^4+x^3\right]_0^1=\pi\left(\frac{1}{5}-1+1\right)=\frac{\pi}{5}.$$
（1）面积：$$S=\int_0^1[(-x^2+2x)-x]\,dx=\int_0^1(-x^2+x)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$$
（2）旋转体体积（圆盘法）：$$V=\pi\int_0^1[(-x^2+2x)^2-x^2]\,dx=\pi\int_0^1(x^4-4x^3+4x^2-x^2)\,dx=\pi\int_0^1(x^4-4x^3+3x^2)\,dx$$
$$=\pi\left[\frac{x^5}{5}-x^4+x^3\right]_0^1=\pi\left(\frac{1}{5}-1+1\right)=\frac{\pi}{5}.$$