【答案】A。【解析】计算各积分：选项 A 中，$\int_0^{\pi/2}x\,dx = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi^2}{8} \approx 1.234$，而 $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = 1$，故 $\dfrac{\pi^2}{8} > 1$，不等式成立。选项 B：$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 1$，与 $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = 1$ 相等，不满足严格大于；选项 C：$\int_0^1\ln(x+1)\,dx = [(x+1)\ln(x+1)-x]_0^1 = 2\ln2 -1 \approx 0.386$，而 $\int_0^1x\,dx = \dfrac{1}{2} = 0.5$，故 $0.386 < 0.5$，不成立；选项 D：$\int_0^1(x+1)\,dx = \left.\left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\right|_0^1 = \dfrac{3}{2} = 1.5$，而 $\int_0^1e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718 > 1.5$，故不成立。因此仅 A 正确。