区域 $D$ 由 $y$ 轴（即 $x=0$）、$y=x$、$y=2-x$ 围成。三线交点：$x=0$ 与 $y=x$ 交于 $(0,0)$；$x=0$ 与 $y=2-x$ 交于 $(0,2)$；$y=x$ 与 $y=2-x$ 联立得 $x=1,y=1$。故 $D$ 为顶点 $(0,0),(0,2),(1,1)$ 的三角形区域。采用先 $x$ 后 $y$ 积分：对固定 $y\in[0,1]$，$x$ 从 $0$ 到 $y$；对 $y\in[1,2]$，$x$ 从 $0$ 到 $2-y$。故 $$\iint_D(x+y)\,dxdy=\int_0^1\int_0^y(x+y)\,dx\,dy+\int_1^2\int_0^{2-y}(x+y)\,dx\,dy.$$ 先算内层积分：$$\int_0^y(x+y)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+yx\right]_0^y=\frac{y^2}{2}+y^2=\frac{3y^2}{2},$$ $$\int_0^{2-y}(x+y)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+yx\right]_0^{2-y}=\frac{(2-y)^2}{2}+y(2-y)=\frac{4-4y+y^2}{2}+2y-y^2=2-2y+\frac{y^2}{2}+2y-y^2=2-\frac{y^2}{2}.$$ 再积分：$$\int_0^1\frac{3y^2}{2}\,dy=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2},\quad \int_1^2\left(2-\frac{y^2}{2}\right)dy=\left[2y-\frac{y^3}{6}\right]_1^2=\left(4-\frac{8}{6}\right)-\left(2-\frac{1}{6}\right)=\left(4-\frac{4}{3}\right)-\left(2-\frac{1}{6}\right)=\frac{8}{3}-\frac{11}{6}=\frac{16-11}{6}=\frac{5}{6}.$$ 总和为 $\frac{1}{2}+\frac{5}{6}=\frac{3}{6}+\frac{5}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。