幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{4^n}x^{2n}$ 是关于 $x^2$ 的幂级数。令 $t=x^2$，则级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n+1}{4^n}t^n$。对其应用比值判别法：$\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)/4^{n+1}}{(n+1)/4^n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+2}{n+1}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$。故 $t$-级数收敛半径为 $R_t=\dfrac{1}{\rho}=4$，即 $|t|<4$，亦即 $|x^2|<4$，得 $|x|<2$，所以原级数收敛半径 $R=2$。