【答案】A。【解析】将积分拆分为两部分：$$\int_{-2}^{2}(x-\sqrt{4-x^2})\,dx=\int_{-2}^{2}x\,dx-\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$$。第一项中 $x$ 为奇函数，在对称区间 $[-2,2]$ 上积分为 $0$；第二项中 $\sqrt{4-x^2}$ 表示上半圆 $y=\sqrt{4-x^2}$（即 $x^2+y^2=4$, $y\ge0$），其在 $[-2,2]$ 上的定积分等于半圆面积 $\frac{1}{2}\pi\cdot 2^2=2\pi$。因此原式 $=0-2\pi=-2\pi$，选 A。