逐项验证。A：$\int_{-1}^{1}2\,dx = 2\cdot(1-(-1)) = 4 \ne 2$，错误；B：$\sqrt{1+x^2}$ 为偶函数，但 $\int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^2}\,dx > \int_{-1}^{1}1\,dx = 2 > \frac{\pi}{2}\approx1.57$，且无初等几何意义，不等于 $\frac{\pi}{2}$，错误；C：$\sqrt{1-x^2}$ 表示上半圆 $x^2+y^2=1$（$y\ge0$），积分 $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$ 为其面积，即半圆面积 $\frac{1}{2}\pi\cdot1^2=\frac{\pi}{2}$，正确；D：$\int_{-1}^{1}(\sin x+\cos x)\,dx = \int_{-1}^{1}\sin x\,dx + \int_{-1}^{1}\cos x\,dx = 0 + 2\sin1 \ne 0$（因 $\sin x$ 奇、$\cos x$ 偶），错误。故选 C。