综合题与应用题 / 构造辅助函数证明 / 常规计算与结论整理 / 构造多项式导函数关联型辅助函数
已知多项式 $f(x)=2x^3-6x+a$，证明 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上至多有一个零点，$a$ 为任意常数.
正确答案
$f'(x)=6(x^2-1)\le0$ 在 $[-1,1]$ 上成立，故 $f(x)$ 单调不增，至多有一个零点.
题目解析
【证明】函数 $f(x)=2x^3-6x+a$ 在 $[-1,1]$ 上连续，且
$$f'(x)=6x^2-6=6(x^2-1).$$
当 $x\in(-1,1)$ 时，$f'(x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上严格单调递减。
若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上存在两个不同零点 $x_1<x_2$，则由严格单调性有 $f(x_1)>f(x_2)$，这与 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 矛盾。
因此，无论常数 $a$ 取何值，$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上至多有一个零点。
$$f'(x)=6x^2-6=6(x^2-1).$$
当 $x\in(-1,1)$ 时，$f'(x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上严格单调递减。
若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上存在两个不同零点 $x_1<x_2$，则由严格单调性有 $f(x_1)>f(x_2)$，这与 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 矛盾。
因此，无论常数 $a$ 取何值，$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上至多有一个零点。