【解析】先对分母因式分解：$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5).$$ 利用部分分式分解：$$\dfrac{1}{x^2-6x+5}=\dfrac{1}{(x-1)(x-5)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-5}.$$ 解得 $A=-\dfrac{1}{4}$，$B=\dfrac{1}{4}$，即 $$\dfrac{1}{x^2-6x+5}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{1}{x-1}\right).$$ 将两项分别展开为 $x$ 的幂级数（在 $|x|<1$ 内）：$$\dfrac{1}{x-5}=-\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{x}{5}}=-\dfrac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{x}{5}\right)^n=-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{5^{n+1}},$$ $$\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{1-x}=-\sum_{n=0}^{\infty}x^n.$$ 故 $$\dfrac{1}{x^2-6x+5}=\dfrac{1}{4}\left[-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{5^{n+1}}+\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right]=\dfrac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(1-\dfrac{1}{5^{n+1}}\right)x^n.$$ 收敛域由两个几何级数共同决定：$|x|<1$ 且 $\left|\dfrac{x}{5}\right|<1$，即 $|x|<1$，故收敛区间为 $(-1,1)$。端点检验：当 $x=1$ 时，通项 $\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5^{n+1}}\right)\to\dfrac{1}{4}\ne0$，级数发散；当 $x=-1$ 时，通项绝对值趋于 $\dfrac{1}{4}$，亦不趋于零，发散。因此收敛域为 $(-1,1)$，答案为 $\dfrac{1}{4}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(1-\dfrac{1}{5^{n+1}}\right)x^n,\quad x\in(-1,1)$。