【解】区域 $D$ 由 $y=x$、$x=3$、$y=0$ 围成，为直角三角形，顶点为 $(0,0)$、$(3,0)$、$(3,3)$。画图可知：对固定 $x\in[0,3]$，$y$ 从 $0$ 到 $x$，故 $$\iint_D e^{\frac{y}{x}}\,dx\,dy = \int_{0}^{3} \int_{0}^{x} e^{\frac{y}{x}}\,dy\,dx.$$ 先对 $y$ 积分：令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=xu$，$dy=x\,du$，当 $y=0$ 时 $u=0$；当 $y=x$ 时 $u=1$，故 $$\int_{0}^{x} e^{\frac{y}{x}}\,dy = \int_{0}^{1} e^{u} \cdot x\,du = x\int_{0}^{1} e^u\,du = x(e-1).$$ 再对 $x$ 积分：$$\int_{0}^{3} x(e-1)\,dx = (e-1)\int_{0}^{3} x\,dx = (e-1)\cdot \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{3} = (e-1)\cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{9(e-1)}{2}.$$