【解】考虑正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $a_n=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{5^n n!}$。注意到分子为前 $n$ 个奇数之积，可表示为 $\dfrac{(2n)!}{2^n n!}$，因为 $$1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}$$（理由：$(2n)!= (2n)(2n-1)\cdots2\cdot1 = [2n\cdot(2n-2)\cdots2]\cdot[ (2n-1)(2n-3)\cdots1 ] = 2^n n! \cdot [1\cdot3\cdots(2n-1)]$）。故 $$a_n=\dfrac{(2n)!}{2^n n! \cdot 5^n n!}=\dfrac{(2n)!}{(2\cdot5)^n (n!)^2}=\dfrac{(2n)!}{10^n (n!)^2}.$$ 应用比值判别法：$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n+2)!}{10^{n+1}[(n+1)!]^2}\cdot\dfrac{10^n (n!)^2}{(2n)!}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n+2)(2n+1)}{10(n+1)^2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n^2+6n+2}{10n^2+20n+10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}<1.$$ 故该级数收敛。