函数、极限与连续 / 分段函数连续与可导 / 分别计算左右极限、函数值与左右导数 / 分段点左右极限分别计算
函数 $f(x)=\begin{cases}2x+\dfrac{\sin x}{x},&x<0\\x\cos x,&x\ge0\end{cases}$，则 $x=0$ 处是函数 $f(x)$ 的（ ）
正确答案
C
题目解析
【解析】计算 $x=0$ 处左右极限与函数值：
左极限：$\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\left(2x+\frac{\sin x}{x}\right)=0+1=1$；
右极限：$\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\cos x=0\cdot1=0$；
函数值：$f(0)=0\cdot\cos0=0$。
因左极限 $1\neq$ 右极限 $0$，且左右极限均存在但不相等，故 $x=0$ 为跳跃间断点，选 C。
左极限：$\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\left(2x+\frac{\sin x}{x}\right)=0+1=1$；
右极限：$\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\cos x=0\cdot1=0$；
函数值：$f(0)=0\cdot\cos0=0$。
因左极限 $1\neq$ 右极限 $0$，且左右极限均存在但不相等，故 $x=0$ 为跳跃间断点，选 C。