【解析】曲线 $L:(x-1)^2+y^2=4$ 是以 $(1,0)$ 为圆心、半径为 $2$ 的正向闭合圆周。设 $P(x,y)=2y+x^2$，$Q(x,y)=x+2y$，则 $$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1-2=-1.$$ 由格林公式，$$\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\,d\sigma=\iint_D (-1)\,d\sigma=-\text{面积}(D).$$ 区域 $D$ 为圆 $(x-1)^2+y^2\leq4$，面积为 $\pi\cdot2^2=4\pi$，故积分值为 $-4\pi$。