【解】先对有理式作多项式除法：\n$$\dfrac{x^{2}+3}{x-1}=x+1+\dfrac{4}{x-1}.$$\n因此\n$$\dfrac{x^{2}+3}{x-1}-ax+b=(1-a)x+(1+b)+\dfrac{4}{x-1}.$$\n当 $x\to\infty$ 时，$\dfrac{4}{x-1}\to0$。要使整个表达式的极限为 $0$，一次项系数和常数项必须同时为零，即\n$$1-a=0,\qquad 1+b=0.$$\n解得\n$$a=1,\qquad b=-1.$$\n代回原式后，表达式化为 $\dfrac{4}{x-1}$，其极限确为 $0$。因此，$a=1,b=-1$。