【解】令 $u=x-1$，则当 $x=0$ 时 $u=-1$；当 $x=2$ 时 $u=1$；且 $dx=du$，故 $$\int_0^2 f(x-1)\,dx = \int_{-1}^{1} f(u)\,du.$$ 由分段函数定义：当 $u<0$ 时，$f(u)=1+u^2$；当 $u\ge0$ 时，$f(u)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}u\right)$。因此 $$\int_{-1}^{1} f(u)\,du = \int_{-1}^{0}(1+u^2)\,du + \int_{0}^{1}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}u\right)\,du.$$ 计算第一部分：$$\int_{-1}^{0}(1+u^2)\,du = \left[u+\dfrac{u^3}{3}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(-1 + \dfrac{-1}{3}\right) = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}.$$ 计算第二部分：令 $v=\dfrac{\pi}{2}u$，则 $du=\dfrac{2}{\pi}dv$，当 $u=0$ 时 $v=0$；当 $u=1$ 时 $v=\dfrac{\pi}{2}$，故 $$\int_{0}^{1}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}u\right)\,du = \dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos v\,dv = \dfrac{2}{\pi}[\sin v]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{\pi}(1-0) = \dfrac{2}{\pi}.$$ 所以原积分值为 $\dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{\pi}$。