一元函数微分学 / 导数定义 / 常规计算与结论整理 / 反三角函数复合幂函数的链式求导及数值代入
已知 $y=\arctan\sqrt{x}$，求 $\dfrac{dy}{dx}$ 及 $\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}$.
正确答案
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{2\sqrt{x}(1+x)}$，$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}=\dfrac14$
题目解析
设 $y=\arctan\sqrt{x}$，令 $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$，则 $y=\arctan u$，由链式法则：$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}(\arctan u)\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$$
代入 $x=1$ 得：$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=\frac{1}{2\cdot1\cdot(1+1)}=\frac{1}{4}$$
代入 $x=1$ 得：$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=\frac{1}{2\cdot1\cdot(1+1)}=\frac{1}{4}$$