一元函数微分学 / 参数方程求导 / 用 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) 计算
设函数$y=f(x)$由参数方程$\left\{\begin{aligned}x&=(t+1)^2+1\\y&=\arcsin\sqrt{t}\end{aligned}\right.$（$t$为参数），求$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac12}$.
正确答案
由$x=(t+1)^2+1$得$\frac{dx}{dt}=2(t+1)$；由$y=\arcsin\sqrt t$得$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2\sqrt t\sqrt{1-t}}$.
所以$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{4(t+1)\sqrt{t(1-t)}}$.
当$t=\frac12$时，$\sqrt{t(1-t)}=\frac12$，故$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac12}=\frac13$.
所以$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{4(t+1)\sqrt{t(1-t)}}$.
当$t=\frac12$时，$\sqrt{t(1-t)}=\frac12$，故$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac12}=\frac13$.
题目解析
由参数方程$\begin{cases}x=(t+1)^2+1\\y=\arcsin\sqrt{t}\end{cases}$，得$\dfrac{dx}{dt}=2(t+1)$，$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\sqrt{1-t}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{t}}=\dfrac{1}{2\sqrt{t(1-t)}}$。故$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{1}{2\sqrt{t(1-t)}}\cdot\dfrac{1}{2(t+1)}=\dfrac{1}{4(t+1)\sqrt{t(1-t)}}$。当$t=\dfrac{1}{2}$时，$t+1=\dfrac{3}{2}$，$\sqrt{t(1-t)}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}$，代入得$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=1/2}=\dfrac{1}{4\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$。