函数 $y=\dfrac{3x^2-5x}{(x-3)(x+7)}$ 的定义域为 $x\neq3$ 且 $x\neq-7$。首先判断垂直渐近线：当 $x\to3$ 或 $x\to-7$ 时，分母趋于 $0$，分子非零（$3\cdot3^2-5\cdot3=27-15=12\neq0$，$3\cdot(-7)^2-5\cdot(-7)=147+35=182\neq0$），故 $x=3$ 和 $x=-7$ 均为垂直渐近线，共 $2$ 条。再判断水平渐近线：$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5x}{x^2+4x-21}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{3-5/x}{1+4/x-21/x^2}=3,$$ 同理 $\lim_{x\to-\infty}y=3$，故 $y=3$ 为水平渐近线。斜渐近线存在需满足 $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{y}{x}$ 存在且非零，但此处 $\deg(\text{分子})=\deg(\text{分母})=2$，故无斜渐近线。综上，共有 $2$ 条垂直渐近线和 $1$ 条水平渐近线，总计 $m=3$ 条，故选 C。