一元函数微分学 / 复合函数求导 / 概念辨析或快速代入排除
设函数$f \left(x\right)$二阶可导，$y = f \left(e^{x}\right)$，则$y ' ' =$（ ）
正确答案
C
题目解析
【解析】设 $y = f(e^x)$，先求一阶导数：$y' = f'(e^x) \cdot e^x$。再对 $y'$ 求导得二阶导数：
$$
y'' = \frac{d}{dx}\left[f'(e^x) \cdot e^x\right] = f''(e^x) \cdot e^x \cdot e^x + f'(e^x) \cdot e^x = e^{2x} f''(e^x) + e^x f'(e^x),
$$
即 $y'' = e^x f'(e^x) + e^{2x} f''(e^x)$，对应选项 C。选项 A、B 忽略链式法则中乘积求导项；选项 D 中第二项导数系数错误，应为 $e^{2x}$ 而非 $e^x$。故选 C。
$$
y'' = \frac{d}{dx}\left[f'(e^x) \cdot e^x\right] = f''(e^x) \cdot e^x \cdot e^x + f'(e^x) \cdot e^x = e^{2x} f''(e^x) + e^x f'(e^x),
$$
即 $y'' = e^x f'(e^x) + e^{2x} f''(e^x)$，对应选项 C。选项 A、B 忽略链式法则中乘积求导项；选项 D 中第二项导数系数错误，应为 $e^{2x}$ 而非 $e^x$。故选 C。