一元函数微分学 / 切线与法线 / 常规计算与结论整理
$x^3+y^2-3xy-4y-19=z$ 在 $(1,-2,0)$ 处的法线方程是____.
正确答案
$9x-11y-z=31$
题目解析
曲面 $F(x,y,z)=x^3+y^2-3xy-4y-19-z=0$ 在点 $(1,-2,0)$ 处的法向量为梯度向量 $
abla F=(F_x,F_y,F_z)$。计算偏导数：$F_x=3x^2-3y$，代入得 $F_x(1,-2)=3(1)^2-3(-2)=3+6=9$；$F_y=2y-3x-4$，代入得 $F_y(1,-2)=2(-2)-3(1)-4=-4-3-4=-11$；$F_z=-1$。故法向量为 $(9,-11,-1)$。法线方程为 $$\frac{x-1}{9}=\frac{y+2}{-11}=\frac{z-0}{-1}$$，化为一般式：由 $\frac{x-1}{9}=\frac{z}{-1}$ 得 $-x+1=9z$，即 $x+9z=1$；由 $\frac{y+2}{-11}=\frac{z}{-1}$ 得 $y+2=11z$，即 $y-11z=-2$。联立消去 $z$ 更宜直接用点法式：$9(x-1)-11(y+2)-1(z-0)=0$，展开得 $9x-9-11y-22-z=0$，即 $9x-11y-z=31$。
abla F=(F_x,F_y,F_z)$。计算偏导数：$F_x=3x^2-3y$，代入得 $F_x(1,-2)=3(1)^2-3(-2)=3+6=9$；$F_y=2y-3x-4$，代入得 $F_y(1,-2)=2(-2)-3(1)-4=-4-3-4=-11$；$F_z=-1$。故法向量为 $(9,-11,-1)$。法线方程为 $$\frac{x-1}{9}=\frac{y+2}{-11}=\frac{z-0}{-1}$$，化为一般式：由 $\frac{x-1}{9}=\frac{z}{-1}$ 得 $-x+1=9z$，即 $x+9z=1$；由 $\frac{y+2}{-11}=\frac{z}{-1}$ 得 $y+2=11z$，即 $y-11z=-2$。联立消去 $z$ 更宜直接用点法式：$9(x-1)-11(y+2)-1(z-0)=0$，展开得 $9x-9-11y-22-z=0$，即 $9x-11y-z=31$。