【解析】计算不定积分 $\int x \ln(1+x^2)\,dx$。令 $u = 1 + x^2$，则 $du = 2x\,dx$，即 $x\,dx = \frac{1}{2}du$。代入得：$$\int x \ln(1+x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int \ln u\,du$$利用公式 $\int \ln u\,du = u\ln u - u + C$，得：$$\frac{1}{2}(u\ln u - u) + C = \frac{1}{2}\left[(1+x^2)\ln(1+x^2) - (1+x^2)\right] + C = \frac{1}{2}\left[(x^2+1)\ln(x^2+1) - x^2 - 1\right] + C$$合并常数项，$-\frac{1}{2} + C$ 仍为任意常数，可记为 $C$，故结果为 $\frac{1}{2}\left[(x^2+1)\ln(x^2+1) - x^2\right] + C$。故答案为 $\frac{1}{2} \left[(x^{2} + 1) \ln (x^{2} + 1) - x^{2}\right] + C$。