【解】(1) 设切点为 $(x_0,e^{-x_0})$，则曲线 $y=e^{-x}$ 在该点导数为 $y'=-e^{-x_0}$，切线方程为 $y-e^{-x_0}=-e^{-x_0}(x-x_0)$。因切线过原点 $(0,0)$，代入得 $0-e^{-x_0}=-e^{-x_0}(0-x_0)$，即 $-e^{-x_0}=e^{-x_0}x_0$，两边除以 $e^{-x_0}>0$ 得 $x_0=-1$。故切点为 $(-1,e)$，斜率为 $-e^{-(-1)}=-e$，切线方程为 $y=-ex$。
(2) 切线 $y=-ex$ 与 $y$ 轴交于 $(0,0)$；曲线 $y=e^{-x}$ 与 $y$ 轴交于 $(0,1)$；两图像在 $x\in[-1,0]$ 上相交于 $(-1,e)$ 和 $(0,0)$？需验证交点：令 $e^{-x}=-ex$，仅当 $x=-1$ 时成立（$e^{1}=e$，$-e(-1)=e$），且 $x=0$ 时 $e^0=1\ne0$，故实际围成区域由 $x=-1$ 到 $x=0$，上边界为曲线 $y=e^{-x}$，下边界为切线 $y=-ex$（在 $[-1,0]$ 上 $e^{-x}\ge -ex$，因 $e^{-x}+ex\ge0$ 恒成立）。绕 $x$ 轴旋转体积为 $$V=\pi\int_{-1}^{0}\left[(e^{-x})^2-(-ex)^2\right]dx=\pi\int_{-1}^{0}(e^{-2x}-e^2x^2)dx.$$ 计算：$$\int_{-1}^{0}e^{-2x}dx=\left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_{-1}^{0}=-\dfrac{1}{2}(1-e^{2})=\dfrac{e^{2}-1}{2},$$ $$\int_{-1}^{0}x^2dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}=0-\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}.$$ 故 $$V=\pi\left(\dfrac{e^{2}-1}{2}-e^2\cdot\dfrac{1}{3}\right)=\pi\left(\dfrac{3(e^{2}-1)-2e^2}{6}\right)=\pi\left(\dfrac{e^2-3}{6}\right)=\dfrac{\pi e^2}{6}-\dfrac{\pi}{2}.$$