计算 $\displaystyle\int x(\sec^2x-\sin x^2)dx=\int x\sec^2x\,dx-\int x\sin x^2\,dx$。
第一部分用分部积分：令 $u=x$，$dv=\sec^2x\,dx$，则 $du=dx$，$v=\tan x$，得
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\int x\sec^2x\,dx=x\tan x-\int \tan x\,dx=x\tan x+\ln|\cos x|+C_1.
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第二部分用换元法：令 $u=x^2$，则 $du=2x\,dx$，故 $x\,dx=\dfrac{1}{2}du$，
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\int x\sin x^2\,dx=\dfrac{1}{2}\int \sin u\,du=-\dfrac{1}{2}\cos u+C_2=-\dfrac{1}{2}\cos x^2+C_2.
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因此原积分为
$$
x\tan x+\ln|\cos x|+\dfrac{1}{2}\cos x^2+C.
$$