一元函数积分学 / 定积分计算 / 常规计算与结论整理
求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac1{\sqrt[3]{x+1}+1}dx$.
正确答案
$\dfrac32(\sqrt[3]{x+1})^2-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln|\sqrt[3]{x+1}+1|+C$
题目解析
令 $t=\sqrt[3]{x+1}$，则 $x=t^3-1$，$dx=3t^2dt$。代入得：$$\int\frac{1}{t+1}\cdot3t^2dt=3\int\frac{t^2}{t+1}dt$$
对分式作多项式除法：$$\frac{t^2}{t+1}=t-1+\frac{1}{t+1}$$
故 $$3\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=3\left(\frac{1}{2}t^2-t+\ln|t+1|\right)+C=\frac{3}{2}t^2-3t+3\ln|t+1|+C$$
回代 $t=\sqrt[3]{x+1}$，得：$$\frac{3}{2}(\sqrt[3]{x+1})^2-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln|\sqrt[3]{x+1}+1|+C$$
对分式作多项式除法：$$\frac{t^2}{t+1}=t-1+\frac{1}{t+1}$$
故 $$3\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=3\left(\frac{1}{2}t^2-t+\ln|t+1|\right)+C=\frac{3}{2}t^2-3t+3\ln|t+1|+C$$
回代 $t=\sqrt[3]{x+1}$，得：$$\frac{3}{2}(\sqrt[3]{x+1})^2-3\sqrt[3]{x+1}+3\ln|\sqrt[3]{x+1}+1|+C$$