被积函数 $f(x)=x(x^2+5\cos x+2)=x^3+5x\cos x+2x$。在对称区间 $[-\pi,\pi]$ 上，$x^3$ 与 $2x$ 均为奇函数，$5x\cos x$ 中 $x$ 为奇函数、$\cos x$ 为偶函数，乘积为奇函数。故三项均为奇函数，其在对称区间上的定积分为 $0$，即 $$\int_{-\pi}^{\pi}x(x^2+5\cos x+2)dx=0.$$