【解析】由变上限积分定义，$f(x)=\int_0^{x^2}\sqrt{1+u}\,du$，对 $x$ 求导得 $f'(x)=\sqrt{1+x^2}\cdot 2x$（复合函数求导，链式法则）。令 $f'(x)=0$，得 $x=0$；当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$；当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减，在 $(0,+\infty)$ 上递增，即先减后增。选项 D 正确。选项 A、B、C 均不符合单调性变化规律。