分子为变限积分，分母为无穷小量，属 $\dfrac{0}{0}$ 型极限。由洛必达法则及变限积分求导公式：$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^x e^{\sin2t}\,dt}{\tan(7x+5\sin x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^{\sin2x}}{\sec^2(7x+5\sin x)\cdot(7+5\cos x)}$。当 $x\to0$ 时，$\sin2x\to0$，故 $e^{\sin2x}\to1$；$\cos x\to1$，故分母趋于 $\sec^2(0)\cdot(7+5)=1\cdot12=12$。因此极限值为 $\dfrac{1}{12}$。