分子为变上限积分，分母为无穷小，符合 $\frac{0}{0}$ 型。由洛必达法则，对分子分母分别求导：分子导数为 $\ln(1+\sin x)$，分母导数为 $\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。故原极限化为 $\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+\sin x)}{x/\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x\to0}\ln(1+\sin x)\cdot\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}$。因 $\sqrt{1+x^2}\to1$，只需计算 $\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+\sin x)}{x}$。利用等价无穷小：当 $x\to0$，$\sin x\sim x$，$\ln(1+u)\sim u$（$u\to0$），故 $\ln(1+\sin x)\sim \sin x\sim x$，因此 $\dfrac{\ln(1+\sin x)}{x}\to1$。综上，极限为 $1\cdot1=1$。