一元函数积分学 / 定积分计算 / 常规计算与结论整理
不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{3}{x^2-5x+6}dx=$____.
正确答案
$3\ln\left|\dfrac{x-3}{x-2}\right|+C$
题目解析
先对被积函数进行部分分式分解：$$\frac{3}{x^2-5x+6}=\frac{3}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.$$ 解得 $A=-3$，$B=3$，即 $$\frac{3}{x^2-5x+6}=\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x-2}.$$ 故 $$\int\frac{3}{x^2-5x+6}dx=\int\left(\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x-2}\right)dx=3\ln|x-3|-3\ln|x-2|+C=3\ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C.$$