该极限为 $\frac{0}{0}$ 型，适用洛必达法则。分子为变限积分 $\int_0^x \ln(2+t^2)\,dt$，由变限积分求导公式得其导数为 $\ln(2+x^2)$；分母 $\sin x$ 的导数为 $\cos x$。故 $$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\ln(2+t^2)dt}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(2+x^2)}{\cos x}=\frac{\ln2}{1}=\ln2.$$