【解】被积函数含分段定义，需按 $x<0$ 与 $x\ge0$ 分段积分。区间 $[-3,1]$ 拆为 $[-3,0)$ 和 $[0,1]$：

当 $x<0$ 时，$f(x)=e^{-\frac{x^3}{3}}$，故 $x^2 f(x)=x^2 e^{-\frac{x^3}{3}}$；

当 $x\ge0$ 时，$f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$，故 $x^2 f(x)=x^{5/2}$。

因此，
$$
\int_{-3}^{1}x^2f(x)\,dx = \int_{-3}^{0}x^2 e^{-\frac{x^3}{3}}\,dx + \int_{0}^{1}x^{5/2}\,dx.
$$

第一项令 $u=-\frac{x^3}{3}$，则 $du=-x^2\,dx$，即 $x^2\,dx=-du$；当 $x=-3$ 时，$u=9$；当 $x=0$ 时，$u=0$，故
$$
\int_{-3}^{0}x^2 e^{-\frac{x^3}{3}}\,dx = \int_{u=9}^{0} e^{u}(-du) = \int_{0}^{9} e^{u}\,du = e^9 - 1.
$$

第二项：
$$
\int_{0}^{1}x^{5/2}\,dx = \left[\frac{x^{7/2}}{7/2}\right]_0^1 = \frac{2}{7}.
$$

故原积分值为 $(e^9 - 1) + \frac{2}{7} = e^9 - \frac{5}{7}$。

答案为 $e^9 - \dfrac{5}{7}$。