一元函数积分学 / 面积与旋转体体积 / 常规计算与结论整理
设平面图形D由曲线$y = e^{2 x}$，$y = e^{- x}$与直线$x = 2$所围成，
（1）求D的面积；
（2）求D绕$x$轴旋转一周所形成的旋转体体积.
（1）求D的面积；
（2）求D绕$x$轴旋转一周所形成的旋转体体积.
正确答案
两曲线$y=e^{2x}$与$y=e^{-x}$在$x=0$处相交，区域的$x$范围为$0\le x\le2$.
（1）$\displaystyle S=\int_0^2(e^{2x}-e^{-x})dx=\left.\left(\frac12e^{2x}+e^{-x}\right)\right|_0^2=\frac{e^4+2e^{-2}-3}{2}$.
（2）$\displaystyle V=\pi\int_0^2\left(e^{4x}-e^{-2x}\right)dx=\pi\left.\left(\frac14e^{4x}+\frac12e^{-2x}\right)\right|_0^2=\frac{\pi}{4}(e^8+2e^{-4}-3)$.
（1）$\displaystyle S=\int_0^2(e^{2x}-e^{-x})dx=\left.\left(\frac12e^{2x}+e^{-x}\right)\right|_0^2=\frac{e^4+2e^{-2}-3}{2}$.
（2）$\displaystyle V=\pi\int_0^2\left(e^{4x}-e^{-2x}\right)dx=\pi\left.\left(\frac14e^{4x}+\frac12e^{-2x}\right)\right|_0^2=\frac{\pi}{4}(e^8+2e^{-4}-3)$.
题目解析
（1）先求两曲线交点：令$e^{2x}=e^{-x}$，得$2x=-x$，即$x=0$；又由直线$x=2$限定右边界，故积分区间为$[0,2]$。因在该区间内$e^{2x}>e^{-x}$，故面积$$S=\int_0^2\left(e^{2x}-e^{-x}\right)dx=\left.\left(\frac{1}{2}e^{2x}+e^{-x}\right)\right|_0^2=\left(\frac{1}{2}e^4+e^{-2}\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{e^4+2e^{-2}-3}{2}.$$（2）绕$x$轴旋转所得体积由圆盘法得$$V=\pi\int_0^2\left[(e^{2x})^2-(e^{-x})^2\right]dx=\pi\int_0^2\left(e^{4x}-e^{-2x}\right)dx=\pi\left.\left(\frac{1}{4}e^{4x}+\frac{1}{2}e^{-2x}\right)\right|_0^2=\frac{\pi}{4}(e^8+2e^{-4}-3).$$