被积函数为分段函数，积分区间 $[-1,1]$ 跨越分段点 $x=0$，故拆分为两部分计算：$$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx.$$ 第一积分：令 $u=\cos x$，则 $du=-\sin x\,dx$，当 $x=-1$ 时 $u=\cos1$，$x=0$ 时 $u=1$，故 $$\int_{-1}^{0}\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx=\int_{\cos1}^{1}\frac{-1}{u^2}\,du=\left[\frac{1}{u}\right]_{\cos1}^{1}=1-\frac{1}{\cos1}.$$ 第二积分：令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$dx=2t\,dt$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=1$ 时 $t=1$，故 $$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{2t}{1+t}\,dt=2\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt=2\left[t-\ln(1+t)\right]_0^1=2(1-\ln2).$$ 合并得 $$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=\left(1-\frac{1}{\cos1}\right)+2(1-\ln2)=3-\frac{1}{\cos1}-2\ln2.$$