【解】令 $u=\sqrt{x}$，则 $x=u^2$，$dx=2u\,du$；当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x=4$ 时，$u=2$。原积分化为 $$\int_0^2 e^{-\frac{u}{2}} \cdot 2u\,du = 2\int_0^2 u e^{-\frac{u}{2}}\,du.$$ 令 $t=\frac{u}{2}$，则 $u=2t$，$du=2dt$，积分限变为 $t\in[0,1]$，代入得 $$2\int_0^1 (2t) e^{-t} \cdot 2\,dt = 8\int_0^1 t e^{-t}\,dt.$$ 对 $\int t e^{-t}\,dt$ 使用分部积分法：设 $v=t$，$dw=e^{-t}dt$，则 $dv=dt$，$w=-e^{-t}$，故 $$\int_0^1 t e^{-t}\,dt = \left[-t e^{-t}\right]_0^1 + \int_0^1 e^{-t}\,dt = (-1\cdot e^{-1} - 0) + \left[-e^{-t}\right]_0^1 = -e^{-1} + ( -e^{-1} + 1 ) = 1 - 2e^{-1}.$$ 因此原积分值为 $8(1 - 2e^{-1}) = 8 - 16e^{-1}$。