设 $I = \int_{-1}^{1} f(x)\,dx$，则题设函数可写为 $f(x) = \sqrt{1 - x^2} + x^2 I$。对等式两边在 $[-1, 1]$ 上积分得：$$I = \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx + I \int_{-1}^{1} x^2\,dx.$$ 其中 $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\,dx$ 表示单位圆上半部分面积，值为 $\dfrac{\pi}{2}$；$\int_{-1}^{1} x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{2}{3}$。代入得：$$I = \dfrac{\pi}{2} + I \cdot \dfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad I - \dfrac{2}{3}I = \dfrac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{3}I = \dfrac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad I = \dfrac{3\pi}{2}.$$ 故答案为 $\dfrac{3\pi}{2}$。