一元函数积分学 / 定积分计算 / 常规计算与结论整理
已知$f(x)=\left\{\begin{aligned}&\sqrt{4-x^2},&&-2<x<2\\&x,&&x\ge 2\end{aligned}\right.$，求$\int_{-2}^{2}f(x+2)dx$.
正确答案
令$t=x+2$，则$dx=dt$.当$x=-2$时$t=0$，当$x=2$时$t=4$.
$\displaystyle \int_{-2}^{2}f(x+2)dx=\int_0^4 f(t)dt=\int_0^2\sqrt{4-t^2}\,dt+\int_2^4 t\,dt$.
其中$\int_0^2\sqrt{4-t^2}\,dt=\pi$，$\int_2^4t\,dt=6$，所以原式$=\pi+6$.
$\displaystyle \int_{-2}^{2}f(x+2)dx=\int_0^4 f(t)dt=\int_0^2\sqrt{4-t^2}\,dt+\int_2^4 t\,dt$.
其中$\int_0^2\sqrt{4-t^2}\,dt=\pi$，$\int_2^4t\,dt=6$，所以原式$=\pi+6$.
题目解析
令 $t = x + 2$，则 $dx = dt$；当 $x = -2$ 时 $t = 0$，当 $x = 2$ 时 $t = 4$，故
$$
\int_{-2}^{2} f(x+2)\,dx = \int_0^4 f(t)\,dt.
$$
由 $f(t)$ 的分段定义：当 $0 \le t < 2$ 时，$t \in (-2,2)$，故 $f(t) = \sqrt{4 - t^2}$；当 $t \ge 2$ 时，$f(t) = t$。因此
$$
\int_0^4 f(t)\,dt = \int_0^2 \sqrt{4 - t^2}\,dt + \int_2^4 t\,dt.
$$
第一项表示半径为 2 的四分之一圆面积（$t \in [0,2]$，$y = \sqrt{4 - t^2} \ge 0$），即 $\frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi$；第二项计算得 $\int_2^4 t\,dt = \left.\frac{t^2}{2}\right|_2^4 = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6$。故原式 $= \pi + 6$。
$$
\int_{-2}^{2} f(x+2)\,dx = \int_0^4 f(t)\,dt.
$$
由 $f(t)$ 的分段定义：当 $0 \le t < 2$ 时，$t \in (-2,2)$，故 $f(t) = \sqrt{4 - t^2}$；当 $t \ge 2$ 时，$f(t) = t$。因此
$$
\int_0^4 f(t)\,dt = \int_0^2 \sqrt{4 - t^2}\,dt + \int_2^4 t\,dt.
$$
第一项表示半径为 2 的四分之一圆面积（$t \in [0,2]$，$y = \sqrt{4 - t^2} \ge 0$），即 $\frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi$；第二项计算得 $\int_2^4 t\,dt = \left.\frac{t^2}{2}\right|_2^4 = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6$。故原式 $= \pi + 6$。