无穷级数 / 幂级数和函数 / 比较、比值、交错或幂级数收敛判别 / 偶次幂且分母含2n的幂级数代换构造ln(1−x^2)型
求幂级数 $1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2n}}{2n}+\cdots$ 在其收敛区间 $(-1,1)$ 内的和函数。
正确答案
$S(x)=-\dfrac12\ln(1-x^2)+1,\quad -1<x<1$
题目解析
原级数 $1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{2n}$。设 $S_1(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{2n}$，则 $S_1'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^{2n-1}=\dfrac{x}{1-x^2}$。因 $S_1(0)=0$，故 $S_1(x)=\int_0^x\dfrac{t}{1-t^2}dt=-\dfrac12\ln(1-x^2)$。所以 $S(x)=1-\dfrac12\ln(1-x^2)$，$-1<x<1$。