【解】首先对有理函数进行部分分式分解。分母因式分解为 $2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$。设$$\dfrac{3x}{2x^2+x-1}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{x+1}.$$通分后比较分子：$3x=A(x+1)+B(2x-1)$。令 $x=-1$，得 $-3=B(-3)$，故 $B=1$；令 $x=1/2$，得 $3/2=A(3/2)$，故 $A=1$。于是$$f(x)=\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{1}{x+1}=-\dfrac{1}{1-2x}+\dfrac{1}{1+x}.$$利用几何级数展开公式 $\dfrac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n$ ($|u|<1$)：对于第一项，$-\dfrac{1}{1-2x}=-\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n=-\sum_{n=0}^{\infty}2^nx^n$，收敛域为 $|2x|<1$ 即 $|x|<\dfrac{1}{2}$；对于第二项，$\dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$，收敛域为 $|x|<1$。取交集得收敛域 $|x|<\dfrac{1}{2}$。合并同类项：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[(-1)^n-2^n\right]x^n.$$
因此，展开式为 $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[(-1)^n-2^n\right]x^n,\quad |x|<\dfrac12$。