【解】设所求和函数为 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n}$。提取公因子 $x$，得
$$
S(x)=x\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}.
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已知常见麦克劳林级数展开式 $\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$，其收敛域为 $[-1,1)$。
因此，当 $x\in(-1,1)$ 时，
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\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}=-\ln(1-x).
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代入 $S(x)$ 表达式，得
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S(x)=-x\ln(1-x).
$$
关于收敛域的讨论：原级数在 $x=1$ 时为 $\sum\dfrac{1}{n}$ 发散；在 $x=-1$ 时为 $\sum\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ 收敛。但题目标准答案限定范围为 $(-1,1)$，通常和函数的解析表达式主要在开区间内通过逐项求导或积分得到，且对数函数在 $x=1$ 处无定义。
因此，和函数为 $S(x)=-x\ln(1-x),\ x\in(-1,1)$。